{"id":318,"date":"2019-12-30T15:40:21","date_gmt":"2019-12-30T14:40:21","guid":{"rendered":"http:\/\/www.nicolafazzini.com\/wp\/?p=318"},"modified":"2020-01-18T16:42:19","modified_gmt":"2020-01-18T15:42:19","slug":"tricordi-tetracordi-serie-dodecafoniche-e-maurits-cornelis-escher","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.nicolafazzini.com\/wp\/?p=318","title":{"rendered":"Tricordi, Tetracordi, Serie Dodecafoniche e Maurits Cornelis Escher"},"content":{"rendered":"\n

Avete presente quelle incisioni di Escher in cui una figura ripetuta occupa lo spazio ma a ben vedere negli interstizi tra una e l\u2019altra sorprendentemente ne appare una complementare che completa lo spazio rimanente? Sembra che l\u2019artista olandese ebbe questa intuizione osservando l’Alhambra a Granada. Le raffigurazioni e le decorazioni di questo splendido edificio hanno delle caratteristiche ritmiche di incastri di figure diverse con una logica che sicuramente ha influenzato Escher come egli stesso scrisse nel suo studio Devisione regolare del piano <\/em>del 1958.
La questione nasconde in realt\u00e0 una profonda riflessione tra geometria e matematica sulle diverse operazioni attraverso le quali possiamo far coincidere delle figure geometriche con se stesse.<\/p>\n\n\n\n

In maniera analoga possiamo costruire delle figure musicali che in modo complementare e geometrico occupino lo spazio cromatico partendo dall\u2019utilizzo degli insiemi di classi di altezze.<\/p>\n\n\n\n

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Per chi non avesse pratica con la teoria degli insiemi applicata alle classi di altezze consiglio la lettura di questo articolo precedente<\/a>.<\/p>\n\n\n\n

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In prima analisi prendiamo in considerazione i tricordi e la loro inversione fig 1, rappresentati sotto anche graficamente.<\/p>\n\n\n\n

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Alcuni di questi 3-1, 3-6, 3-8, 3-10 e 3-12 sono simmetrici rispetto all’altezza posta nel centro. Possiamo raggruppare tutti questi insiemi in un sovrainsieme che possiamo definire TS (tricordo-simmetrico, insieme di tutti i tricordi simmetrici rispetto all’altezza centrale). L’insieme 3-10 pur essendo dotato di simmetria, come si evince dalle tavole successive non compone una serie complementare dodecafonica.<\/p>\n\n\n\n

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gli altri 3-2, 3-3, 3-4, 3-5. 3-7, 3-9, 3-11 possono essere anche invertiti creando delle figure complementari per la creazione della serie dodecafonica. Definiremo questo sovrinsieme TI (tricordo invertito, insieme di tutti i tricordi che si completano attraverso il loro inverso).<\/p>\n\n\n\n

I tricordi combinandosi con altre trasposizioni di s\u00e8 stessi o del loro complementare generano tutte e dodici le altezze.<\/p>\n\n\n\n

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Queste in Fig 2 invece le serie dodecafoniche complete ottenibili dai tricordi in questione. Questa serie \u00e8 rappresentabile graficamente cos\u00ec:<\/p>\n\n\n\n

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Da questa immagine risultano ancora pi\u00f9 evidenti gli incastri ottenuti, tenendo conto che i tricordi in nero sono quelli in posizione fondamentale, in rosso le inversioni, in azzurro quelle altezze che superano l\u2019ottava e che concludono il ciclo sovrapponendosi ai tricordi iniziali.

I tricordi che appartengono al sovrainsieme TS completano l\u2019insieme cromatico senza necessit\u00e0 di combinarsi con inversioni perch\u00e9 sono strutturate sulla trasposizione per terza minore, che divide l\u2019ottava in quattro parti uguali.
Il sovrainsieme TI, si divide il due sottoinsiemi. Il TI costruito su 3-2, 3-7 comprende successioni di tricordo e sua inversione, mentre le serie 3-3, 3-5, 3-11 vedono alternarsi due tricordi nella posizione fondamentale e due inversioni.
Queste diverse geometrie sono legate alla natura del singolo tricordo e si manifestano nell\u2019analisi dei tetracordi generati dalle altezze dei quattro tricordi raggruppati per fondamentale, secondo e terzo grado di ogni singolo insieme.
Fig 3<\/p>\n\n\n\n

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Da questa analisi risultano delle serie dodecafoniche di cui alcune dividono perfettamente l\u2019ottava in parti uguali (3-4, 3-6. 3-9 tramite arpeggio diminuito, il 3-3 genera il 4-27, il 3-12 in bizzarro modo circolare il 4-1), altre sono formate da due tetracordi uguali e uno che denominiamo \u201casse\u201d. Interessante osservare come in questo caso i tetracordi non asse generino un octocordo simmetrico (ad es. il 3-2 una scala diminuita il 3-5 e il 3-11 due altre scale octofoniche simmetriche) il 3-2 e il 2-5 su un asse arpeggio diminuito, il 3-11 sull’asse insieme 4-23.<\/p>\n\n\n\n

Tornando alla serie dodecafonica di tricordi complementari di Fig 2 l’utilizzo degli intervalli complementari o la trasposizione di ottava di alcune delle altezze del tricordo arricchisce ulteriormente la qualit\u00e0 melodica della serie e la sua trama ritmica e dinamica.
Fig 4 e 5<\/p>\n\n\n\n

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Possiamo effettuare altre operazioni per variare la nostra serie ottenuta dai tricordi. Una di queste \u00e8 definita nel linguaggio degli insiemi e della topologia permutazione degli elementi, che ci consente di modificare in modo regolare l\u2019ordine degli stessi. Fig 6<\/p>\n\n\n\n

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Le possibili ricombinazioni sono 3! (3 fattoriale, ovvero 1x2x3=6). La posizione fondamentale e la sua inversione, che abbiamo gi\u00e0 visto in fig 2, sono completate dalle quattro rappresentate. Interessante osservare che la n 1 e la n 4 sembrano una sorta di aggiramento, dove la nota centrale e il punto di approdo e le altre note agli estremi dell\u2019insieme sembrano delle note di approccio. Come abbiamo visto nella fig 3 la seconda nota di ogni tricordo in posizione fondamentale o inversa genera un tetracordo asse talvolta diverso dai due risultanti dalle altezze alle estremit\u00e0. Le successioni che hanno come asse l’iniseme 4-26 sembrano quindi essere diversi approcci all\u2019arpeggio diminuito.<\/p>\n\n\n\n

Oltre all’insieme 3-2 ho analizzato le permutazioni dell’insieme 3-1, trascurato nelle figure precedenti per la sua ovviet\u00e0, ma che permutato risulta invece pi\u00f9 interessante.<\/p>\n\n\n\n

Per i tetracordi invece ecco gli insiemi che replicati compongono una serie completa
Fig 7<\/p>\n\n\n\n

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Ecco invece il loro sviluppo dodecafonico in Fig 8<\/p>\n\n\n\n

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Contrariamente ai tricordi, con l’esclusione del 3-11, non tutti i tetracordi generano una serie dodecafonica. Interessante osservare inoltre che tutti questi insiemi si intersecano sempre in una successione di terze maggiori, che divide l\u2019ottava in tre sezioni identiche.<\/p>\n\n\n\n

Ovviamente anche ai tetracordi possiamo applicare processi permutativi e di complementariet\u00e0.<\/p>\n\n\n\n

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Bibliografia:<\/p>\n\n\n\n

Luigi Verdi, Organizzazione delle altezze nello spazio temperato, Diastema Analisi, Treviso<\/p>\n\n\n\n

Maurits Cornelis Escher, Divisione regolare del piano<\/p>\n\n\n\n

Nicola Fazzini, Insiemi e classi di altezze per l\u2019analisi, la composizione e l\u2019improvvisazione jazz<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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