{"id":561,"date":"2023-01-22T16:42:55","date_gmt":"2023-01-22T15:42:55","guid":{"rendered":"http:\/\/www.nicolafazzini.com\/wp\/?p=561"},"modified":"2023-01-22T16:43:04","modified_gmt":"2023-01-22T15:43:04","slug":"pitch-class-set-e-m7","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.nicolafazzini.com\/wp\/?p=561","title":{"rendered":"Pitch class set e M7<\/strong><\/em>"},"content":{"rendered":"\n

La teoria delle classi di altezze nasce nel secondo dopoguerra negli Stati Uniti in particolare ad opera del compositore Milton Babbit e del musicologo Allen Forte.<\/p>\n\n\n\n

Particolarmente diffusa nel mondo della contemporanea d\u2019oltreoceano non ha trovato grande diffusione nella musica europea salvo qualche eccezione (ad es le sperimentazioni di Luigi Nono) e applicazioni indirizzate alla ricerca dell\u2019 IRCAM.<\/p>\n\n\n\n

Questo modello di analisi non determina tanto un\u2019estetica, ma rappresenta uno strumento di analisi per tutto il materiale atonale con propensione all\u2019utilizzo di tecniche quali inversione, moltiplicazione, trasposizione, contiguit\u00e0, combinatoriet\u00e0, complementariet\u00e0.<\/p>\n\n\n\n

Nell\u2019analisi di un insieme di altezze mod 12 si attribuiscono di fatto i numeri interi da 0 a 11 ai nomi delle note della scala cromatica ascendente partendo dalla nota do.<\/p>\n\n\n\n

Applicando i principi della teoria degli insiemi si creano delle classi di altezze che vengono siglate attraverso un numero x-y dove x \u00e8 il numero delle altezze utilizzate e y l\u2019ordine crescente con cui sono categorizzate.<\/p>\n\n\n\n

La forma di ciascun insieme \u00e8 determinata dalla disposizione in ordine crescente delle altezze delle note che la comprendono, e pu\u00f2 essere trasformata in una forma primaria che origina sempre da zero, nota do, a 11, nota si.<\/p>\n\n\n\n

Un altro strumento utile \u00e8 il vettore intervallare che \u00e8 rappresentato dal numero delle qualit\u00e0 di diversi intervalli che si ottiene da tutte le possibili combinazioni tra le altezze e che determina quindi la natura combinatoria di ciascun insieme.<\/p>\n\n\n\n

Da notare che per ottenere un numero limitato di forme primarie si considerano gli intervalli dal semitono al tritono identici ai loro reciproci dal tritono alla settima maggiore.<\/p>\n\n\n\n

Ad es. la triade maggiore e minore e tutti i loro rivolti appartengono allo stesso set classificato come 3-11, con forma primaria (0,3,7) do-mib-sol, e vettore intervallare [001110], ovvero, nell\u2019ordine zero semitoni, zero toni, una terza minore, una terza maggiore, una quarta, nessun tritono.<\/p>\n\n\n\n

Possiamo forse, dopo pi\u00f9 di mezzo secolo, considerare questa esperienza di ricerca un tentativo enciclopedico di comprendere la totalit\u00e0 delle combinazioni delle diverse altezze in modulo 12 e di analizzarne attributi e qualit\u00e0.<\/p>\n\n\n\n

Nel jazz troviamo traccia dell\u2019utilizzo di questo sistema tanto nelle dissertazioni on-line (vedi sito M-Base: https:\/\/m-base.com\/what-is-m-base\/) quanto in molte composizioni e improvvisazioni di Steve Coleman, in particolare per quel che riguarda principi di sum<\/em>, simmetria e armonia negativa.<\/p>\n\n\n\n

Ad es. qui a proposito della composizione Cross Fade<\/em>, tratta dall’album del 1990 dal titolo Black Science <\/em>che suona come una vera e propria \u201cdichiarazione programmatica\u201d:<\/p>\n\n\n\n

<\/a> “Melodically and harmonically the concept of “Cross-Fade” deals with tonal  deals in key centers). In other words, what is important here is the position of tones in space or centers in terms of space (asopposed to the standard tonality which distance). So when I speak of improvising with regard to a “sum 1I tonal center” I am speaking of a tonality that has an axis (or spatial center) of sum\u2028means that the tones B-C (also F-G flat) are the spatial tonal centers of this section <\/em><\/p>\n\n\n\n

of the composition. For the improviser this means improvising with this spatial tonality in mind. To go into some examples of improvising in a “sum 11” tonality is beyond the scope of this presentation and any [sic] would take many chapters. I do plan on releasing a small book on the subject later but I can say that one necessity would be learning to think spacially with the mind as well as using your ears. <\/em><\/p>\n\n\n\n

Da queste parole di Coleman, oltre ad un parziale chiarimento sul termine Sum <\/em>e Axis [di simmetria]<\/em>, troviamo quanto detto in precedenza riguardo al tipo di processo di apprendimento che richiedono queste tecniche, non solo da un punto di vista logico, ma da quello dell’assimilazione, per nulla facile, dal momento che costringe a reinventare l’abitudine dell’ascolto attraverso la prassi esecutiva.<\/p>\n\n\n\n

Dall\u2019interessante testo \u201cPlaying outside : excursions from the tonality in jazz improvisation \u201d di Tim Dean Lewis per la City University of London troviamo un\u2019accurata analisi del brano Cross Fade, che supporta l\u2019ipotesi riguardo l\u2019influenza del serialismo americano sulla musica di Steve Coleman.<\/p>\n\n\n\n

Further, it has struck me that there is a similarity between the “Sum ‘ system and the theories of Perle (1977), both in terms of structure and nomenclature (although I do not know whether Steve Coleman has been directly influenced by this text)<\/em><\/p>\n\n\n\n

Sempre sull\u2019argomento Steve Coleman afferma:<\/p>\n\n\n\n

“When I play, I’m not thinking scales. A lot of younger players are so locked  into scales that they can’t think of anything else. I’ve often  two modes, major and minor, dominate out of the countless diatonic structures. After studying African, Eastern and Bulgarian folk music. I decided that it wasn’t necessaryto use just major and minor, and consciously abandoned it. Now I’m working with cells. There’s nothing mystic about that – they’re just small musical constructs which I manipulate to get two types of sound motion, stationary and in transit. I’ve also been looking for geometric ways of doing progression rather than thinking in standard terms.”<\/em><\/p>\n\n\n\n

Interessante osservare qua come teorie di musica e di ricerca contemporanea, cellule e insiemi, si sposino con tradizioni musicali etniche, in una sorta di corto circuito che sembra, apparentemente, relegare in secondo piano\u00a0 le sonorit\u00e0 della musica europea dal rinascimento ai primi del novecento. Un inaspettato fil rouge tra serialismo e musica africana, tra musica popolare extra-europea e quanto di pi\u00f9 razionalmente complesso elaborato nella musica occidentale.<\/p>\n\n\n\n

Queste o analoghe indicazioni per determinare insiemi di altezze utilizzate in modo armonico in sostituzione delle classiche sigle sono usate talvolta da molti musicisti afferenti all\u2019M-Base come Miles Okazaki, Jonathan Finlayson e Jen Shyu.<\/p>\n\n\n\n

L’analisi attraverso classi di insiemi di altezze consente di evidenziare le caratteristiche e le propriet\u00e0 di gruppi di note che non hanno un corrispettivo evidente all\u2019interno dell\u2019armonia tradizionale di tipo funzionale.<\/p>\n\n\n\n

A mio parere molto materiale anche della tradizione jazzistica pu\u00f2 cos\u00ec essere meglio decifrato, sd es. voicing<\/em> e pattern<\/em>.<\/p>\n\n\n\n

La mia prima composizione scritta utilizzando queste nozioni, \u00e8 stata \u201cSpazio Angusto\u201d<\/p>\n\n\n\n

Il titolo nasce dalle caratteristiche del materiale musicale utilizzato: quattro insiemi di tre note ciascuno, insiemi semplici costruiti sulle prime combinazioni di piccoli intervalli, seconda maggiore e minore e terza maggiore, quindi uno spazio intervallare limitato e apparentemente limitante:<\/p>\n\n\n\n

F#, G, Ab<\/p>\n\n\n\n

A, Bb, C<\/p>\n\n\n\n

Ab, Bb, B<\/p>\n\n\n\n

F, Gb, A<\/p>\n\n\n\n

Il primo, insieme 3-1, \u00e8 costituito da una successione a distanza di semitoni.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a>


Il secondo e il terzo hanno un tono e un semitono disposti in ordine inverso, ma nonostante questa apparente diversit\u00e0 appartengono alla stesso gruppo, il 3-2, che ha come vettore intervallare 1,1,1,0,0,0.<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Il quarto che contiene un semitono e una terza minore \u00e8 il 3-3.<\/p>\n\n\n\n

La prima sezione si sviluppa melodicamente con vibrafono, sax e basso che suonano coralmente la melodia ricavata dall\u2019utilizzo esclusivo delle note dell\u2019insieme.<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

I quattro insiemi sono utilizzati e suddivisi in blocchi di due battute ciascuno. Il materiale di ciascun insieme \u00e8 utilizzato in modo seriale: ogni nota di ciascun insieme \u00e8 presente, con l\u2019avvertenza di evitare la ripetizione della stessa all\u2019interno di un singolo blocco, in modo da un lato di far percepire sempre il colore complessivo degli insiemi, dall\u2019altro di evitare il pi\u00f9 possibile una sensazione di tonalit\u00e0 o di predominanza di un\u2019altezza sulle altre.<\/p>\n\n\n\n

Vibrafono, sax e basso seguono rigorosamente questa idea come potete vedere alla lettera A della partitura.<\/p>\n\n\n\n

Nell\u2019utilizzo delle classi di altezza uno degli strumenti pi\u00f9 semplici e interessanti per lo sviluppo melodico \u00e8 quello del cambio di ottava.<\/p>\n\n\n\n

Con insiemi cos\u00ec stretti, che nella loro forma fondamentale si muovono nell\u2019ambito di semitono, tono e terza minore, il cambio di ottava dell\u2019altezza di una nota determina la creazione di salti ampi: settime, seste e none.<\/p>\n\n\n\n

Sax alto e basso seguono un movimento contrario in questo senso: dall\u2019alto al basso per il primo e dal basso all\u2019alto per il secondo. Il vibrafono come strumento polifonico sintetizza entrambi questi movimenti.<\/p>\n\n\n\n

Il brano \u00e8 costruito prevalentemente dalla ripetizione di una sezione A di otto misure sviluppata e variata o inframmezzata da sezioni riorchestrate o finalizzate a momenti solistici.<\/p>\n\n\n\n

La composizione si sviluppa in modo pi\u00f9 o meno rigoroso seguendo questo schema attraverso processi di orchestrazione, ripresa e variazione della sezione A, assoli e variazioni della formula ritmica, fondata anch\u2019essa sulla presenza del numero 3 con un processo che in qualche modo replica l\u2019idea di insieme a livello ritmico, con un contrappunto ritmico tra la linea del basso e il drum chant<\/em> della batteria.<\/p>\n\n\n\n

Un insieme di tre note offre possibilit\u00e0 di sviluppo interessanti, con l\u2019utilizzo del tritono come intervallo traspositore, che trasforma il nostro insieme da 3 a 6 elementi<\/p>\n\n\n\n

F# G Ab + C Db D<\/p>\n\n\n\n

A Bb C + D# E F#<\/p>\n\n\n\n

Ab Bb B + D E F<\/p>\n\n\n\n

F Gb A + B C Eb<\/p>\n\n\n\n

Gli insiemi di sei note per le loro caratteristiche hanno un ruolo particolare nella musica seriale. Innanzitutto ciascun esacordo ha un insieme complementare di altre sei note che va a completare l\u2019insieme cromatico.<\/p>\n\n\n\n

Un\u2019ulteriore possibilit\u00e0 \u00e8 considerare il tricordo come sottoinsieme di altre scale ( tutte le scale conosciute possono essere considerate insiemi) pi\u00f9 familiare e caratteristica.<\/p>\n\n\n\n

Il primo insieme di Spazio Angusto infatti pu\u00f2 generare una scala cromatica, il secondo e il terzo, con l\u2019inclusione delle note C# e G, due diverse scale diminuite, come l\u2019ultimo con l\u2019inclusione delle note B e F.<\/p>\n\n\n\n

Legato al concetto di pitch class<\/em> quello di deep scale<\/em> ovvero scale che abbiano un vettore intervallare che consista di valori unici. Questo attributo sembra fornire una grande possibilit\u00e0 di costruzione di sottoinsiemi diversi, e quindi maggiore variet\u00e0 ad es rispetto a una scala simmetrica. Inoltre queste scale possiedono un\u2019altra propriet\u00e0 importante, ossia di essere trasponibili per l\u2019intero insieme cromatico con relazioni tra le stesse create da quantit\u00e0 diverse di note comuni.<\/p>\n\n\n\n

La pi\u00f9 nota tra le deep scale<\/em> \u00e8 quella maggiore e l\u2019analisi delle sue propriet\u00e0 insiemistiche ha fornito alcune ipotesi logico-matematiche sul prevalere di questo sistema nello sviluppo della storia della musica occidentale.<\/p>\n\n\n\n

La scala maggiore, insieme 7-11 costituito dalla forma (0,2,4,5,7,9,11), che nella sua forma primaria, in ordine crescente di distanze e intervalli, \u00e8 (0,1,3,5,6,8,10) possiede vettore intervallare [2 5 4 3 6 1], un valore unico per ogni intervallo, con predominanza dell\u2019intervallo di quarta, reciproco della quinta. Sappiamo che la quinta \u00e8 elemento fondante di ogni scala maggiore diatonica; una scala maggiore pu\u00f2 essere riletta come una successione di questo intervallo ad es, in do maggiore la sequenza sar\u00e0 fa-do-sol-re-la-mi-si.<\/p>\n\n\n\n

Cosa succede ora se con principio isomorfico proviamo a costruire delle nuove scale che abbiano come unit\u00e0 di misura principale non il semitono, ma tutti gli altri intervalli?<\/p>\n\n\n\n

Otterremo sempre delle scale non eptafoniche perch\u00e8 ci sar\u00e0 sempre una ripetizione di qualche nota, ad eccezione che con l\u2019intervallo di quinta e quarta, che generer\u00e0 la scala contenuta nell\u2019insieme 7-1 (0,1,2,3,4,5,6) iv [6 5 4 3 2 1] che \u00e8 l\u2019altra deep<\/em> scale eptafonica.<\/p>\n\n\n\n

Nel far questo non abbiamo altro che applicato una delle propriet\u00e0 citate all\u2019inizio di questo paragrafo, quella della moltiplicazione, indicata dal simbolo M. Moltiplicando la successione 2,2,1,2,2,2,1 di volta in volta per il numero di semitoni caratterizzante l\u2019intervallo scelto e poi riportando i risultati ottenuti in mod 12, ovvero nella stessa ottava.<\/p>\n\n\n\n

L\u2019operazione moltiplicativa pi\u00f9 fertile sembra essere quella quindi di M7 (o M5), usata spesso infatti in dodecafonia e serialit\u00e0 insieme a retrogradazione e inversione, per generare serie nuove con un legame di parentela profondo con l’originale.<\/p>\n\n\n\n

La natura della relazione stretta tra i due insiemi 7-1 e 7-11 nasce dal fatto che entrambi gli insiemi hanno una stretta correlazione con i due intervalli pi\u00f9 generativi, il semitono e la quinta e i loro reciproci ovviamente.<\/p>\n\n\n\n

Possiamo quindi costruire accordi e modi sulla scala 7-1 in modo analogo alla scala maggiore e derivare una serie di scale con propriet\u00e0 affini a quelle della scala maggiore.<\/p>\n\n\n\n

Da osservare che le scale simmetriche e i modi a trasposizione limitata rimangono invariati in entrambi gli insiemi. Di seguito la moltiplicazione di alcune delle scale pi\u00f9 note:<\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/a><\/figure>\n\n\n\n

Per la sua natura il 7-1 possiede caratteristiche di maggior tensione, essendo il cromatismo il valore intervallare predominante rispetto alla quinta del 7-11.<\/p>\n\n\n\n

Questa profonda relazione tra i due insiemi pu\u00f2 essere a mio parere interessante oltre in ambito atonale anche in quello tonale, proprio perch\u00e9 l’insieme 7-11 possiede esattamente le stesse propriet\u00e0 di una scala maggiore in termini di sviluppo di modi e accordi.<\/p>\n\n\n\n

Ogni melodia costruita in un sistema tonale 7-11 pu\u00f2 essere quindi trasformata in una a riferimento cromatico 7-1. L\u2019unica accortezza \u00e8 quella, rispetto all\u2019operazione moltiplicativa del serialismo, di considerare l\u2019operazione M7 in modo che io definisco relativo, ovvero considerando la <\/p>\n\n\n\n

fondamentale del sistema 7-11 la stessa del 7-1. Per cui la fondamentale di ciascun nuovo sistema tonale cromatico va considerata il nostro nuovo valore 0.<\/p>\n\n\n\n

Le due scale maggiori sovrapposte sono le seguenti:<\/p>\n\n\n\n

7-11: do re mi fa sol la si<\/p>\n\n\n\n

7-1: do re mi si do# re# fa<\/p>\n\n\n\n

ottenute dalle seguenti operazioni:<\/p>\n\n\n\n

7-11: 0 2 4 5 7 9 11<\/p>\n\n\n\n

7-11 M7= 0 2 4 11 1 3 5<\/p>\n\n\n\n

ovvero:<\/p>\n\n\n\n

0x7= 0<\/p>\n\n\n\n

2×7= 14 mod12= 2<\/p>\n\n\n\n

4×7= 21 mod12= 4<\/p>\n\n\n\n

5×7= 35 mod12= 11<\/p>\n\n\n\n

7×7= 49 mod12= 1<\/p>\n\n\n\n

9×7= 63 mod12= 3<\/p>\n\n\n\n

11×7= 77 mod12= 5<\/p>\n\n\n\n

Di fatto, in modulo 12, tutte le distanze pari rimangono invariate mentre quelle dispari si invertono in modo costante a distanza di tritono. il tetracordo fa-sol-la-si diventa in M7 si-do#-re#-fa.<\/p>\n\n\n\n

Interessante notare l\u2019affinit\u00e0 di questi risultati con quella che in armonia si chiama la sostituzione di tritono, che sembra essere basata sulla stessa propriet\u00e0 matematica.<\/p>\n\n\n\n

Possiamo quindi traslare in M7 relativo tutte le composizioni tonali, di seguito alcuni esempi che ho elaborato dai temi di \u201cDonna Lee\u201d, \u201cLennies Pennie\u2019s\u201d e il noto solo di Lester Young su \u201cOh, Lady be Good\u201d.<\/p>\n\n\n\n

In queste nuove melodie si manifestano degli aspetti interessanti con alcune figure ricorrenti:<\/p>\n\n\n\n