Classi di insiemi esacordali

Di tutte gli insiemi l’esacordale è quello che ha attirato maggiormente l’attenzione di musicisti e studiosi che si sono avvicinati alla serialità e alla teori degli insiemi applicata alle classi di altezze.


Tricordi, tetracordi, pentacordi ed eptacordi godono di un’ampia letteratura per lo più legata all’armonia funzionale. Ma nel contesto insiemistico l’insieme esacordale ha delle caratteristiche che ne fanno uno strumento tra i più interessanti: esso divide l’insieme cromatico in due parti uguali, ed è sottodivisibile in bicordi o tricordi. In ragione della divisione dell’ottava in due parti uguali molti esacordi godono di proprietà di simmetria e complementarietà che li rendono speciali e uno strumento interessante per la composizione.


Molti autori ne hanno quindi ampiamente trattato descrivendoli e classificandoli in modi diversi (Simbriger, Hauer, Rouse, Martino, Perle ad es.) e in base alle loro ricerche possiamo raggrupparli in gruppi aventi diverse caratteristiche in funzione della loro complementarietà:

  • esacordi combinabili per trasposizione con il proprio complementare
  • esacordi combinabili per inversione
  • esacordi combinabili per inversione retrograda
  • esacordi combinabili per retrogradazione

Gli 80 esacordi fondamentali possono quindi combinarsi tra loro in modo diverso e e questo ne fa, oltre che l’insieme più interessante, anche quello con il più alto grado di complessità.

Gli esacordi più noti sono il 6-35, ovvero la scala esatonale (0,2,4,6,8,10) e il 6-20, quella alterata (0,1,4,5,8,9). A questi possiamo aggiungere il 6-7, uno dei modi a trasposizione limitata di Messiaen , (0,1,2,6,7,8) e la scala blues 6-47 (0,3,5,6,7,10), nella sua forma primaria (012479), scala interessante al di là del valore storico nel jazz, perchè contiene elementi intervallari estremamente duttili, come testimoniato dal suo codice intervallare [233241]

In continuità con quanto visto nei precedenti articoli vorrei qui proporvi gli esacordi prodotti dall’unione di due tricordi appartenenti allo stesso insieme.
I tricordi in questione vengono definiti generatori


Ogni riga riporta prima i due tricordi generatori separati, nella battuta successiva l’esacordo ottenuto.
Per familiarizzare con i simboli utilizzati sono riportati il nome dei tricordi (3-1, 3-2, ecc) collegati dal simbolo U che significa “unione di insiemi” e l’esacordo risultante con il dettaglio delle altezze. La sigla Tn indica che l’insieme è stato trasportato del numero di semitoni indicati dal numero n. La sigla “i” indica l’inseme nella sua inversione.

Lì dove non c’è identità con quello originario a ciascun insieme esacordale succede nella riga sottostante l’esacordo complementare con i relativi tricordi generatori.

Ovviamente si possono ottenere insiemi esacordali dalla composizione di tricordi non dello stessa tipologia con uno schema che Martino e Rouse così definiscono:

  • 4 XXXX
  • 3+1 XXXY
  • 2+2 XXYY
  • 2+1+1 XXYZ
  • 1+1+1+1 XYWZ

Di seguito quindi lo schema quindi degli esacordi complementari ottenuti dagli insiemi generatori XXXX o XXYY.

Noterete sicuramente cose interessanti tra cui il fatto che tricordi diversi talvolta generano gli stessi esacordi. Dei 12 tricordi seguenti il tricordo 3-10 (accordo diminuito) è l’unico che non genera una serie dodecafonica completa; la sua serie completa è XXXY in unione con l’insieme 3-10

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Classi di altezze pentacordali

Tricordi e tetracordi, vedi qui precedente loro analisi, godono all’interno dell’insieme cromatico di uno speciale status. Il nostro sistema musicale, come quello che calcola mesi e ore, è costruito in Modulo12 quindi tri- e tetracordi possono dividere l’ottava in parti uguali e possono, combinati tra loro, generare serie dodecafoniche.
I pentacordi invece non possono che essere imperfetti da questo punto di vista. Per completare l’insieme cromatico devono essere uniti a un eptacordo. Il più semplice e noto esempio è rappresentato dalla scala maggiore diatonica di do maggiore, insieme 7-35 (0,2,4,5,7,9,11), che completata dall’insieme di tutti i cromatismi, insieme 5-35 (6,8,10,1,3), genera una scala pentatonica maggiore di fa#. La rappresentazione più immediata e nota è rappresentata dalla tastiera del pianoforte, cone sovrainsieme dei sottoinsiemi rappresentati dai tasti bianchi e neri.

Non per questo i pentacordi sono privi di aspetti interessanti, che ne fanno uno strumento utile dal punto di vista compositivo e improvvisativo.
Riporto in seguito una tavola di alcuni pentacordi degni di interesse, perché possiedono una proprietà importante: sono distribuiti e distanziati in modo omogeneo all’interno dell’ottava.


Scale, arpeggi e accordi più frequentemente usati godono di questa proprietà. È bene far notare che “distanze distribuite in modo omogeneo” non vuol significare necessariamente che le altezze sono poste in modo simmetrico o che sono equidistanti tra gli elementi, ma semplicemente che occupano l’ottava in maniera equilibrata.

Il pentacordo non può dividere quindi l’ottava in parti uguali, ma può generare alcuni insiemi dalle interessanti caratteristiche.
Questi insiemi nella loro forma fondamentale, compatta e contratta generano invece una volta estesi una serie di arpeggi/accordi che arrivano fino alla nona di estensione.
La tavola mostra qui alcune simmetrie interessanti: gli insiemi 5-17 e 5-34 nella loro versione estesa per terze sono perfettamente simmetrici generando rispettivamente un accordo minore con la settima maggiore e la nona giusta e un accordo di settima di dominante con la nona giusta.

Gli altri pentacordi esposti generano invece nella versione inversa tipologie di accordi diversi che possono essere messi quindi in relazione:

5-21: DbMaj7 #9 – i 5-21: EMaj7 #5 #9

5-25: Dmb5/9 – i 5-25: Fm7 b9

5-26: Dm b5#9 – i 5-26: EMaj7 #5 9

5-27 DbMaj 9 – i 5-27 Fm7 9

5-31: Cm dim 9 – i 5-31: Ab7 b9

Mi sembra interessante provare a esplorare le possibili per permutazioni di un pentacordo. Il loro numero complessivo è 5! (cinque fattoriale, ovvero 5x4x3x2x1=120).


Un modo interessante per calcolare e analizzare alcune delle possibili permutazioni è quello di considerare il pentacordo come l’unione di un bicordo e un tricordo.


In questo modo possiamo giovarci dell’analisi permutativa dei tricordi già fatta, oltre che immaginare i pentacordi come una serie dodecafonica generata dal tricordo armonizzata da un bicordo.

Prendendo in analisi il pentacordo 5-27, accordo maggiore settima/nona, abbiamo in sequenza le sue possibili combinazioni considerandolo un sovrinsieme di un tricordo e un bicordo.

Da battuta 21 a 24 invece la sovrapposizione tra il bicordo e il tricordo sviluppato nella sua successione dodecafonica.

Da battuta 25 in poi invece lo stesso processo sviluppato in maniera orizzontale invece che verticale.

Altro interessante processo consiste nel considerare ciascun pentacordo come l’unione di due tricordi con un elemento centrale in comune.

Nella figura sottostante sono illustrati nel primo rigo i quattro tricordi che generano diversamente combinati i pentacordi presentati a partire dal secondo rigo che sono quelli che abbiamo precedenemente analizzato.

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Classi di altezze, due esempi pratici

Lo studio delle classi di altezze è nato e si è sviluppato in un contesto musicale legato a dodecafonia e serialismo, lontano e in qualche modo in antitesi da quello della musica tonale.
Da un punto di vista astratto l’armonia tonale e funzionale può essere considerata comunque un caso particolare della teoria degli insiemi. La scala maggiore infatti corrisponde all’insieme 7-35 e tutti gli accordi in essa inclusi possono essere così considerati suoi sottoinsiemi, cosi come modi, scale e funzioni armoniche sue permutazioni, trasposizioni, inversioni.

Nulla comunque ci vieta di sperimentare l’utilizzo di diverse tecniche contemporaneamente e quindi voglio proporvi due esempi di melodie costruite su strutture armoniche tipiche del jazz. Uno standard, Indiana, sul quale C. Parker (anche se alcuni sostengono sia stato composto da Miles Davis) ha scritto Donna Lee e un rhythm changes, una forma derivata dalla composizione I’ve got rhythm di Gershwin, che al pari della struttura del blues è stata utilizzata come contrafact in moltissime composizioni.

Questa parafrasi di Donna Lee di Charlie Parker, contrafact di Indiana di Hanley/Ballard, è stata scritta utilizzando numerosi insiemi raggruppati per lo più secondo la logica della creazione di serie dodecafoniche, cioè come fossero tasselli uguali che completano in modo geometricamente uniforme il mosaico dell’insieme cromatico (vedi qui per approfondire).

Fig. 1

Qui il file audio:

Ecco invece l’analisi degli insiemi utilizzati:

Le serie dodecafoniche sono raggruppate nella linea posta al di sopra del pentagramma con il codice di ciascuna classe utilizzata. Sono invece cerchiati i singoli insiemi che compongono le diverse serie.

In questa mia composizione costruita su I’ve got rhythm di Gershwin invece si utilizzano principalmente due gruppi di insiemi. Il 3-3 nella prima sezione, mentre nel bridge il 4-27. Il noto tema originario è costruito nella sezione A dalle note F, G, Bb, C, corrispondente proprio all’insieme 4-27, idea ripresa dal tema del bridge.

Analizzando la melodia della composizione possiamo notare che è costruita usando l’insieme 3-3 (0,1,4) trasportato e invertito a mo’ di creazione di una serie dodecafonica (vedi ancora articolo citato precedentemente). Se consideriamo la prima nota di ciascun insieme si genera un tetracordo che è esattamente il tema originario, ovvero l’insieme 4-27.


Se in Donna Lee si è mantenuta la tessitura originaria con la sostituzione delle linee melodiche bop con quelle dodecafoniche, qui invece il processo è di natura integrativa rispetto a una linea melodica originaria più semplice. La scelta dell’insieme 3-3 è quindi determinata dal tetracordo originario del tema.
Il tema del vibrafono è ottenuto dalla trasposizione una terza maggiore verso il basso di quello del sax.

Nella sezione B invece viene utilizzata nel tema la serie dodecafonica ottenuta grazie alla trasposizione per terze del 4-27. La linea del basso rimane invariata rispetto all’originale, ma l’armonia segue l’andamento melodico degli insiemi del tema creando una tensione che ha il suo apice nella progressione per terze maggiori dell’ultima battuta del bridge, prima di pacificarsi nel Bb dell’ultima sezione A.
Ritmicamente ho strutturato gli insiemi su diverse versioni di scomposizioni ternarie (quarti, ottavi e sedicesimi disposti anche in terzine).

Lascio a voi la valutazione di quanto sia interessante questo materiale proposto da un punto di vista estetico. Sicuramente però questo processo di creazione melodica, e di riflesso armonica, nonostante l’apparente rigidità derivante dal processo logico-matematico, crea una grande elasticità e fluidità dell’andamento melodico, determinata dalla continua sensazione di vicinanza e lontananza creata dalla serie completa rispetto alla tonalità di base.

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Tricordi, Tetracordi, Serie Dodecafoniche e Maurits Cornelis Escher

Avete presente quelle incisioni di Escher in cui una figura ripetuta occupa lo spazio ma a ben vedere negli interstizi tra una e l’altra sorprendentemente ne appare una complementare che completa lo spazio rimanente? Sembra che l’artista olandese ebbe questa intuizione osservando l’Alhambra a Granada. Le raffigurazioni e le decorazioni di questo splendido edificio hanno delle caratteristiche ritmiche di incastri di figure diverse con una logica che sicuramente ha influenzato Escher come egli stesso scrisse nel suo studio Devisione regolare del piano del 1958.
La questione nasconde in realtà una profonda riflessione tra geometria e matematica sulle diverse operazioni attraverso le quali possiamo far coincidere delle figure geometriche con se stesse.

In maniera analoga possiamo costruire delle figure musicali che in modo complementare e geometrico occupino lo spazio cromatico partendo dall’utilizzo degli insiemi di classi di altezze.

Per chi non avesse pratica con la teoria degli insiemi applicata alle classi di altezze consiglio la lettura di questo articolo precedente.

In prima analisi prendiamo in considerazione i tricordi e la loro inversione fig 1, rappresentati sotto anche graficamente.


Alcuni di questi 3-1, 3-6, 3-8, 3-10 e 3-12 sono simmetrici rispetto all’altezza posta nel centro. Possiamo raggruppare tutti questi insiemi in un sovrainsieme che possiamo definire TS (tricordo-simmetrico, insieme di tutti i tricordi simmetrici rispetto all’altezza centrale). L’insieme 3-10 pur essendo dotato di simmetria, come si evince dalle tavole successive non compone una serie complementare dodecafonica.

gli altri 3-2, 3-3, 3-4, 3-5. 3-7, 3-9, 3-11 possono essere anche invertiti creando delle figure complementari per la creazione della serie dodecafonica. Definiremo questo sovrinsieme TI (tricordo invertito, insieme di tutti i tricordi che si completano attraverso il loro inverso).

I tricordi combinandosi con altre trasposizioni di sè stessi o del loro complementare generano tutte e dodici le altezze.


Queste in Fig 2 invece le serie dodecafoniche complete ottenibili dai tricordi in questione. Questa serie è rappresentabile graficamente così:

Da questa immagine risultano ancora più evidenti gli incastri ottenuti, tenendo conto che i tricordi in nero sono quelli in posizione fondamentale, in rosso le inversioni, in azzurro quelle altezze che superano l’ottava e che concludono il ciclo sovrapponendosi ai tricordi iniziali.

I tricordi che appartengono al sovrainsieme TS completano l’insieme cromatico senza necessità di combinarsi con inversioni perché sono strutturate sulla trasposizione per terza minore, che divide l’ottava in quattro parti uguali.
Il sovrainsieme TI, si divide il due sottoinsiemi. Il TI costruito su 3-2, 3-7 comprende successioni di tricordo e sua inversione, mentre le serie 3-3, 3-5, 3-11 vedono alternarsi due tricordi nella posizione fondamentale e due inversioni.
Queste diverse geometrie sono legate alla natura del singolo tricordo e si manifestano nell’analisi dei tetracordi generati dalle altezze dei quattro tricordi raggruppati per fondamentale, secondo e terzo grado di ogni singolo insieme.
Fig 3

Da questa analisi risultano delle serie dodecafoniche di cui alcune dividono perfettamente l’ottava in parti uguali (3-4, 3-6. 3-9 tramite arpeggio diminuito, il 3-3 genera il 4-27, il 3-12 in bizzarro modo circolare il 4-1), altre sono formate da due tetracordi uguali e uno che denominiamo “asse”. Interessante osservare come in questo caso i tetracordi non asse generino un octocordo simmetrico (ad es. il 3-2 una scala diminuita il 3-5 e il 3-11 due altre scale octofoniche simmetriche) il 3-2 e il 2-5 su un asse arpeggio diminuito, il 3-11 sull’asse insieme 4-23.

Tornando alla serie dodecafonica di tricordi complementari di Fig 2 l’utilizzo degli intervalli complementari o la trasposizione di ottava di alcune delle altezze del tricordo arricchisce ulteriormente la qualità melodica della serie e la sua trama ritmica e dinamica.
Fig 4 e 5

Possiamo effettuare altre operazioni per variare la nostra serie ottenuta dai tricordi. Una di queste è definita nel linguaggio degli insiemi e della topologia permutazione degli elementi, che ci consente di modificare in modo regolare l’ordine degli stessi. Fig 6



Le possibili ricombinazioni sono 3! (3 fattoriale, ovvero 1x2x3=6). La posizione fondamentale e la sua inversione, che abbiamo già visto in fig 2, sono completate dalle quattro rappresentate. Interessante osservare che la n 1 e la n 4 sembrano una sorta di aggiramento, dove la nota centrale e il punto di approdo e le altre note agli estremi dell’insieme sembrano delle note di approccio. Come abbiamo visto nella fig 3 la seconda nota di ogni tricordo in posizione fondamentale o inversa genera un tetracordo asse talvolta diverso dai due risultanti dalle altezze alle estremità. Le successioni che hanno come asse l’iniseme 4-26 sembrano quindi essere diversi approcci all’arpeggio diminuito.

Oltre all’insieme 3-2 ho analizzato le permutazioni dell’insieme 3-1, trascurato nelle figure precedenti per la sua ovvietà, ma che permutato risulta invece più interessante.

Per i tetracordi invece ecco gli insiemi che replicati compongono una serie completa
Fig 7


Ecco invece il loro sviluppo dodecafonico in Fig 8


Contrariamente ai tricordi, con l’esclusione del 3-11, non tutti i tetracordi generano una serie dodecafonica. Interessante osservare inoltre che tutti questi insiemi si intersecano sempre in una successione di terze maggiori, che divide l’ottava in tre sezioni identiche.

Ovviamente anche ai tetracordi possiamo applicare processi permutativi e di complementarietà.

Bibliografia:

Luigi Verdi, Organizzazione delle altezze nello spazio temperato, Diastema Analisi, Treviso

Maurits Cornelis Escher, Divisione regolare del piano

Nicola Fazzini, Insiemi e classi di altezze per l’analisi, la composizione e l’improvvisazione jazz

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Insiemi di classi di durate


La tradizione occidentale in materia di analisi e teoria degli aspetti melodici e armonici della musica è vastissima e approfondita. Minore invece è stato l’apporto teorico per quel che riguarda analisi e teoria del ritmo.
Le ragioni sono molteplici e in parte riconducibili all’idea radicata e diffusa in buona parte dell’occidente che essendo il ritmo legato a elementi fisici e corporei della percezione musicale sia un elemento proprio della musica popolare e quindi volgare, e, al contrario, che nella musica colta e in quella sacra, in quanto rivolte a elevare lo spirito, l’elemento ritmico sia secondario rispetto a quello melodico e armonico.

In molte tradizioni musicali extra-eropee il ritmo riveste invece un ruolo fondamentale e in molti casi è strettamente legato ad aspetti rituali e di sacralità. La musica del novecento ha attinto a piene mani a queste culture: musica popolare dell’est europa, musica indiana, musica araba, musica africana o afro-americana, ecc.

In generale anche nel jazz contemporaneo la sensazione è che poco di innovativo resti da scoprire in campo melodico e armonico, mentre molto resta da indagare in quello ritmico.
L’oggetto di questo articolo è se e come sia possibile, analogamente alle classi di altezze, utilizzare e ricondurre degli elementi ritmici a classi di durate.

Una prima sostanziale differenza tra altezze e durate è che se gli insiemi di altezze sono un numero finito (parliamo infatti di un sistema a modulo 12, come il totale cromatico a meno di non prendere in considerazioni suddivisioni microtonali di un’ottava) le classi di durata sono invece infinite essendo una distanza temporale sempre ulteriormente suddivisibile in un’unità più piccola.

È comunque possibile mutuare, utilizzare e applicare dalla teoria degli insiemi alcuni principi che possono essere utili allo scopo di definire meglio le qualità e le potenzialità di un insieme di durate.

Un interessante contributo è quello dato da Godfried Toussaint, ricercatore in scienze informatiche canadese, che in particolare nell’ambito della geometria computazionale e della matematica discreta ha evidenziato delle analogie tra strutture matematiche e ritmiche.

Innanzitutto abbiamo a disposizione degli strumenti grafici per rappresentare le strutture ritmiche.
Un primo utile strumento è il codice binario 0 e 1 nel quale l’1 rappresenta una pulsazione e lo 0 una pausa o la distanza tra una pulsazione e l’altra. Ad es. nella fig 1 la prima battuta (insieme E 2,3) Si potrebbe trascrivere come:
[101]
Una diversa trascrizione della stessa figura utilizzando l’1 con una x e
O zero con un punto:

[x.x]

Una visualizzazione grafica alternativa molto efficace è quella di rappresentare all’interno di un cerchio la figurazione ritmica, dividendo la circonferenza in pause e pulsazioni. Questo strumento riesce meglio a mettere in risalto l’aspetto ciclico di una figura ritmica.

Potremmo utilizzare questi strumenti per analizzare dei fenomeni di isomorfismo tra classi di altezze e ritmi. Una curiosa relazione esiste ad es. tra la scala maggiore e l’african bell pattern, ritmo proveniente dall’Africa occidentale, dove la successione di toni e semitoni concide perfettamente con quella delle durate del ritmo.
rappresentazione grafica: xx.x.xx.x.x.
insieme di altezze: 7-35 (0,1,3,5,6,8,10) [254361]
L’isomorfismo delle due forme è sicuramente una curiosa coincidenza. Stabilire delle analogie tra durate e intervalli può essere un’interessante strumento compositivo, già utilizzato dal compositore e teorico ucraino Joseph Schillinger.

L’algoritmo di Euclide invece è utilizzato per calcolare il massimo comune divisore tra due numeri interi. Toussaint ha analizzato come questo numero possa essere utilizzato per generare una sequenza ritmica, e di come molti dei ritmi di diverse tradizioni musicali del mondo possano essere ricondotti ad esso.

La Fig 1 riporta i ritmi citati da Toussaint con associati degli insiemi di altezze scelti arbitrariamente, al fine di avere una rappresentazione anche melodica del processo e mettere in risalto le diverse rotazioni. I ritmi seguenti sono associati a diverse tradizioni: musica cubana, bulgara, persiana, africana, sud e nordamericana.

Una delle principali proprietà di un insieme ritmico è la rotazione. Il numero delle rotazioni possibili è quello del metro complessivo meno una, esclusi gli insiemi che possiedono delle simmetrie e che possono essere quindi definiti “ritmi non retrogradabili”, utilizzando un termine coniato da Olivier Messiean, compositore che su questi ultimi e sui modi a trasposizioni limitate, quindi dotati di simmetria, ha costruito buona parte della sua musica.

Come per gli insiemi di altezze possiamo innanzitutto cercare di rappresentare una forma originaria partendo dall’organizzare i nostri inisemi in modo crescente.
Ad es il nostro insieme E(2,3) dove due sono i numeri delle pulsazioni presenti e tre è il nostro metro è rappresentabile progressivamente come (1,1,0), dove i numeri indicano le singole pulsazioni in questo caso due da un ottavo e una pausa.
Possiamo ora rappresentare il numero dei valori presenti e in questo caso sarà [1,1,0]: il primo rappresenta l’ottavo il secondo le pulsazioni da due ottavi, il terzo quelle da tre. Ovviamente essendo di fronte come detto precedentemente a un sistema non finito rispetto a quello delle classi di altezze ci confrontiamo con un sistema di codifica che non può che rappresentare dei numeri che danno origine a frazioni in funzione del ritmo espresso all’interno di un singolo metro

Una caratteristica interessante che unisce sia gli insiemi ritmici che quelli di altezze è quello dell’evenness, ovvero dell’uniformità con la quale gli elementi sono posizionati all’interno di un tempo, così come in una scala o un accordo. Gli insiemi ritmici o melodici che noi utilizziamo con più frequenza sono quelli che sono distribuiti in modo più regolare nello spazio o nel tempo.

Altra caratteristica di molti insiemi ritmici è la rhythm oddity, definibile come una qualità appartenente a molti dei ritmi più diffusi al mondo dove la distribuzione delle pulsazioni non divide mai il ritmo in due sezioni di ugual misura.

Bibliografia

The Geometry of Musical Rhythm: What Makes a “Good” Rhythm Good?: Godfried Toussaint, CRC Press, USA

The Schillinger System of Musical Composition, Joseph Schillinger, C. Fischer, Inc. (New York)

The Technique of my Musical Language, Olivier Messiaen, Alphonse Leduc, Paris

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Movimenti circolari: alcuni esempi e affinità con scale simmetriche

In questi articolo abbiamo visto come una sequenza di due tipologie di intervalli in successione possa generare degli piccole frasi o nuclei melodici che estesi si inanellano in modo peculiare a seconda delle caratteristiche degli intervalli selezionati.

Abbiamo anche visto che questa successione intervallare è rappresentabile in forma vettoriale e che il primo intervallo è definito caratterizante, il secondo traspositore.

Per meglio capire la differenza tra la funzione di questi due passaggi possiamo analizzare i due casi in cui ad es. l’intervallo vettore sia prima caratterizzante e poi traspositore.
Attraverso questa analisi emergeranno alcune interessanti differenze.

Nel primo caso quindi combineremo il nostro intervallo caratterizzante di terza minore con gli altri quattro (ma ovviamente si può procedere in estensione fino all’ottava) escludendo la combinazione con la terza minore traspositrice, perchè rappresenta un caso a sè stante (fig. 1)

Fig. 1

La terza minore caratterizzante combinata con la seconda minore traspositrice (fig. 1 a) genera un insieme cromatico di sei altezze che si muove secondo la regola dell’intervallo traspositore moltiplicato per due (vedi sempre articolo sopra citato), in questo caso generando una seconda maggiore e una successione di anelli che si muove per tono.

Nel caso della seconda maggiore traspositrice (fig. 1b) si genera un nucleo minore 0,2,3,5 e un interessante 0,2,3,4,5,7, nella sua combinazione completa, che attraverso la generazione di anelli concentrici con progressione di terza maggiore genera una sonorità che si muove intorno a un frammento di un modo minore.

Per capire e interpretare i codici degli insiemi di altezze qui e in seguito citati rimando a questo articolo:

Nel caso della terza maggiore intervallo traspositore (fig. 1 c) si genera un insieme 0,3,4,7 con la caratteristica della compresenza sia di una terza maggiore che di una minore e nella sua estensione più ampia 0,1,4,5,8,9, ovvero una scala alterata.

Nel caso di una quarta giusta intervallo traspositore (fig.1 d) si genera un insieme 0,3,5,8, ovvero un accordo minore settima e nella sua estensione genera due accordi minori settima a distanza di quarta.

Nel caso di una quarta aumentata (fig 1 e) si genera un accordo diminuito anche nella sua estensione in forma di anello, ovviamente per la peculiarità dell’intervallo di tritono che tende a generare forme speculari, dividendo l’ottava in due parti eguali.

Nel caso in cui invece la terza minore abbia una funzione di intervallo traspositore la faccenda cambia completamente (fig. 2).

Come emerge evidentemente con qualsiasi intervallo determinante essa sia combinata esso genera sottoinsiemi di scale diminuite.

Fig.2

Possiamo quindi dedurre in questo caso specifico che mentre la terza minore come intervallo caratterizzante genera una serie di combinazioni di insiemi diversi, nella sua funzione traspositrice genera insiemi riconducibili a un sottoinsieme unico e a un colore melodico-armonico ben determinato, ovvero quello della scala ottofonica diminuita.
Risalta quindi da un lato l’importanza dell’intervallo traspositore rispetto a quello caratterizzante, dall’altro il ruolo cruciale dell’intervallo della terza minore nell’insieme diminuito, evidenziato sia dalla simmetria delle cellule che compongono l’insieme, sia dal suo andamento che dal suo codice intervallare 8-28 (0,1,3,4,6,7,9,10) [448444].

Fig. 3

Se prendiamo in analisi il processo generato dall’intervallo traspositore terza maggiore (fig. 3) vedremo invece come questo crei una serie di sottoinsiemi invece riconducibili alla scala aumentata, o meglio all’insieme 6-20 (0,1,4,5,8,9) [303630] e a quella esatonale, insieme 6-35 (0,2,4,6,8,10) [060603].

La natura intervallare dei tre insiemi 8-28, 6-20 e 6-35 mette in evidenza il comportamento delle catene intervallari analizzate. L’insieme 8-28, scala diminuita, contiene tutti gli intervalli senza esclusione e questo dato spiega cosi perché tutte le combinazioni a intervallo traspositore terza minore generino sottoinsiemi ad essa riconducibili.
Confrontando il comportamento della terza maggiore come intervallo traspositore con il codice intervallare della scala aumentata risulta che essendo zero il valore della seconda maggiore e dalla quarta aumentata tale combinazione genera invece una scala a toni interi. Il codice della scala a toni interi riporta invece la cifra zero in corrispondenza di semitono, terza minore, quarta giusta e quindi in corrispondenza di questi valori la terza maggiore genera un insieme riconducibile alla scala alterata.
Interessante il confronto tra le due scale esatonali precedenti, che pur sembrando diverse l’una dall’altra hanno in comune, oltre al numero complessivo delle altezze che le compongono, tre note che generano un accordo aumentato 0,4,8 e la cifra 6 nel codice intervallare relativo alla terza maggiore, oltre che questa sorta di complementarietà intervallare evidenziata in precedenza.

Il codice intervallare si rivela essere uno strumento utile a capire non solo quali intervalli compaiono in un insieme ma anche quali possono essere combinati tra loro per generare un determinato insieme.

Proseguendo nell’analisi con un intervallo traspositore di seconda minore abbinato agli altri intervalli invece si generano sottoinsiemi riconducibili a un insieme cromatico.

La quarta giusta invece per la sua caratteristica di coprire in successione il totale delle altezze crea anch’essa un insieme cromatico.

La quarta aumentata invece merita un discorso a parte. Vista la sua simmetria simmetria non genera delle progressioni ma crea sempre e soltanto degli insiemi di quattro elementi che si succedono invertiti per tritono.
Con intervallo traspositore tritono quello caratteristico assume una certa rilevanza, determinando la natura dell’insieme generato, o meglio caratterizzando la distanza a cui si pongono i due tritoni generati dal circolo.

In conclusione i movimenti circolari per la loro natura di simmetria sono strettamente legati alle scale simmetriche e attraverso la loro analisi intervallare possiamo meglio capirne le relazioni e trovare quali intervalli generino una volta combinati delle successioni comprese o meno in queste scale.

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“Ciascun modo a suo tempo”: una proposta di riscrittura di “Miles’ Mode” di J. Coltrane

Voglio qui proporvi un’idea di rielaborazione del brano analizzato nel precedente articolo: http://www.nicolafazzini.com/wp/?p=219

Da qui si evince che la frase principale è suddivisibile in tre parti, che corrispondono a tre insiemi:
4-10 (0235) [122010]
4-1 (0123) [321000]
4-23 (0257) [021030]

Riguardo alle classi di insieme potete consultare questo articolo:
http://www.nicolafazzini.com/wp/?m=201811

Come abbiamo visto due di questi tre insiemi si sviluppano con un andamento intervallare circolare (http://www.nicolafazzini.com/wp/?p=204).
Possiamo ora provare ad attribuire una diversa durata temporale alla serie di intervalli, stabilendo una equivalenza tra durate e intervalli.
Il primo cerchio di quattro note ad es. è composto di due terze minori e due seconde maggiori. Stabilendo un principio di isomorfismo tra altezza e ritmo la prima nota avrà una durata di tre ottavi, la seconda di due ottavi, la terza di nuovo tre e l’ultima due (vedi Fig 1 parte del vibrafono). Il totale risultante è una frase che si sviluppa su un metro di 5/8. Il secondo gruppo avrà invece una durata di 3/8 (vedi Fig. 1 parte del basso) . Di seguito la Fig 1 in partitura: http://www.nicolafazzini.com/wp/wp-content/uploads/2018/12/fig-1-tempo-e-modo-copia.pdf

Questo tipo di processo creativo, che crea un parallelismo tra ritmo e altezze ha trovato in Joseph Shillinger, compositore ucraino trasferitosi negli Stati Uniti, un‘applicazione interessante. Le idee di questo originale teorico della musica, autore ad es. di composizioni per teremin e orchestra, hanno influenzato molti compositori del Novecento di diversi stili musicali (Henry Cowell, George Gershwin, Benny Goodman, Burt Bacharach giusto per citarne alcuni).

A questo punto possiamo fare un’ulteriore operazione di diminuzione sui nostri insiemi, sottraendo a ciascuno due note, la seconda e la quarta, replicando l’operazione sui retrogradi di ciascun gruppo.
Otteniamo qui una serie interessante che mette il luce qualità nascoste dell’insieme. Innanzitutto l’andamento melodico della serie non è più circolare, ma a spirale, dall’intervallo più ampio al più piccolo della serie. In secondo luogo se nell’andamento circolare erano evidenziati i vettori intervallari caratterizzante e traspositore, in questo andamento si palesano proprio gli intervalli nascosti dal movimento circolare, prodotti dalla somma di due vettori intervallari: nel primo insieme si tratta di quarta e seconda minore, nel secondo terza minore e seconda minore.

http://www.nicolafazzini.com/wp/wp-content/uploads/2018/12/tempo-e-modo.pdf

Un caso a parte il terzo insieme che non essendo disposto in modo circolare ma discendente rielaborato con l’esclusione della seconda e quarta nota non crea un movimento a spirale ma circolare con vettori intervallari di quarta e seconda maggiore.
Inoltre ci prendiamo qui una “licenza poetica” dal momento che questo insieme genererebbe un metro di 6/8, multiplo del precedente insieme 4-1 in 3/8. Per avere a disposizione tre metri diversi lo disponiamo in 7/8 (Fig 1 parte del sax) in modo da avere tre numeri primi diversi (3,5,7) a disposizione.

Queste tre serie così ottenute possono essere sovrapposte per ottenere un’interessante combinazione di metri diversi. Ciascuno dei tre gruppi si incontrerà con un altro secondo logica poliritmica:
ogni cinque ripetizioni il 3/8 incontrerà il 5/8
ogni sette ripetizioni il 3/8 incontrerà il 7/8
ogni tre ripetizioni il 5/8 incontrerà il 3/8
ecc..
L’incontro simultaneo delle tre serie invece è stabilito dal loro minimo comune multiplo, in questo caso il 105 (3x5x7).

Nel grafico sottostante sono rappresentati riga per riga i tre diversi metri con i loro punti di incontro.

Per comodità di scrittura e lettura ho stabilito un metro comune di 1/8 nella partitura.

Ho ipotizzato un’orchestrazione per XYQuartet dove sax alto, vibrafono e basso suonano ciascuno un metro diverso. Alla batteria, non ancora arrangiata e presente in partitura, potrebbe essere attribuito il ruolo di una semplice pulsazione binaria, ed essere così un riferimento metronomico utile, o un groove che contenga tutti i metri contemporaneamente.

Qui il file audio midi della partitura: http://www.nicolafazzini.com/wp/wp-content/uploads/2018/12/ogni-modo-a-suo-tempo.mp3

Ogni modo, o più correttamente, ogni serie avrebbe così il suo proprio tempo.
Questa ipotetica composizione dopo un corpo centrale dedicato all’improvvisazione, che potrebbe essere corale e dove ciascun strumento potrebbe riprendere e sviluppare il metro assegnatogli, ha una parte finale di sviluppo tematico legata al tema originale di Miles’ Mode.

Di seguito la partitura di questa sezione: http://www.nicolafazzini.com/wp/wp-content/uploads/2018/12/modo2.pdf

L’aspetto caratteristico di questa sezione finale è la creazione di una linea contrappuntistica eseguita dal vibrafono ottenuta in modo speculare rispetto all’asse della nota D. Ogni intervallo della successione della serie viene applicato in questa linea rigorosamente inversa nella direzione rispetto all’originale (serie per moto inverso).

Questo tipo di processo è stato da me usato in altre composizioni di XYQuartet ad es. in Malcolm Carpenter (cd Orbite, nusica.org 2017) sia per la scrittura della seconda voce del vibrafono che nel tema della sezione a partire dalla misura 121 dove basso prima e sassofono poi suonano la melodia principale modificata specularmente rispetto all’asse fa-la.

Tornando al nostro “Ogni modo a suo tempo” la sezione contrappuntistica è completata dallalinea del basso, che riprende la terza serie del tema rivista con un andamento circolare a partire dalla battuta n. 12.

Bibliografia:

Schillinger, Joseph (1946). Schillinger System of Musical Composition. C. Fischer, Inc. (New York)

Josef Rufer, Die Komposition mit zwölf Tönen, Berlin-Wunsieldel, Hesse, 1952 (tr. it.: Teoria della composizione dodecafonica, Milano, Il Saggiatore, 1962)

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“Miles’ Mode” di John Coltrane: un’analisi per insiemi e movimenti circolari

Miles’ Mode è una composizione di John Coltrane che fin da giovane studente mi ha colpito e incuriosito per il sinuoso ed elegante ma allo stesso tempo deciso e maestoso andamento melodico del tema, che, nella sua concisione, sembra un prologo o un annuncio della lunga parte improvvisativa, ed è in questo estremamente efficace. Nella sua semplicità, in tutto sono tre frasi senza ripetizioni, ha una sonorità peculiare data dalla natura del processo compositivo.

La paternità della composizione è comunque incerta, dal momento che esiste una composizione con il medesimo tema dal titolo “Red Planet” attribuita al sassofonista Eric Dolphy, molto legato artisticamente a John Coltrane.

La prima frase di questo tema consiste in una serie dodecafonica, ovvero una successione di dodici note dove nella quale si utilizzano tutte le altezze dell’insieme cromatico senza alcuna ripetizione. La seconda frase invece è il suo retrogrado, ovvero una melodia che si sviluppa invertendo la serie, l’ultima nota fa da perno e diventa la prima della nuova frase, che ripercorre la melodia al contrario.

Ci troviamo quindi di fronte all’utilizzo del totale cromatico e, restando in tema di analisi seriale, si utilizza qui un insieme di dodici note, 12-1.
Potete approfondire il significato di insieme di classi di altezze in questo mio articolo precedente:

www.nicolafazzini.com/wp/?p=204

A una prima osservazione il tema risulta composto da due sottoinsiemi del totale cromatico 12-1. Il primo costituito dalle prime sette note (una scala eptatonica considerando la nota B come riferimento si tratta di un modo dorico) il secondo da il suo insieme complementare, una scala pentatonica maggiore di Eb o C minore. Questa interpretazione risulta più evidente nella versione di Dolphy dove a questi due insiemi melodici sottostà un’armonia che si muove parallelamente da Bmin7 a Cmin7 nella prima frase.

Gli insiemi complementari sono molto interessanti, possono essere una risorsa melodica e armonica utile e originale, in particolare quelli composti di sei note stabiliscono delle interessanti relazioni reciproche.

Un altro modo di suddividere il totale cromatico della frase è quello a gruppi di quattro note.
il tipo di andamento melodico di questo tema è molto simile a quello esposto nel mio articolo “movimenti circolari” dove si indaga su come ottenere con due soli intervalli alla volta delle frasi circolari rispetto ad alcuni assi di simmetria.

Le prime quattro note appartengono a un insieme 4-10 (0235) [122010] e sono distribuite con un andamento melodico circolare che ha come vettore caratterizzante la terza minore e come vettore traspositore la seconda maggiore.
La seconda maggiore diventa invece l’intervallo caratterizzante del secondo insieme e intervallo traspositore diventa la seconda minore: il tutto appartiene all’insieme 4-1 (0123) [321000].

Con andamento circolare intendo una frase che gode di simmetria sia per quel che riguarda l’utilizzo degli intervalli che per quel che riguarda la distribuzione delle altezze rispetto a un asse.
In questo caso la terza minore ascendente si-re (asse) viene trasposta un tono sopra ma nella direzione inversa.
La simmetria e l’equilibrio dell’andamento intervallare genera la percezione di circolarità di questa frase.
Ultimo sottoinsieme di questo tema è invece quello della frase discendente do-sib-fa-mib appartiene all’insieme speculare 4-23 (0257) [021030] caratterizzato dalla presenza di intervalli di tono e di quarta.

Interessante osservare come l’intervallo di seconda maggiore è presente in tutti e tre gli insiemi di quattro note, valore che si può dedurre dal codice intervallare in tutti gli insiemi, in questo caso 2. Inoltre tra l’ultima nota e la prima di queste tre serie intercorre sempre un intervallo di quarta giusta.

Rispetto alla divisione tra due insiemi, uno eptatonico e uno pentatonico, quella a tre insiemi, di quattro altezze ciascuno, mi sembra più interessante. La divisione in due spezza il procedere melodico, mentre quella in tre rispetta l’andamento, due frasi circolari e una discendente, poste così ordinatamente a distanza di una quarta.

la linea di basso nella versione di Coltrane si sviluppa per tritono passando dalla nota si a quella fa nella prima serie e nel retrogrado da do a fa#, generando l’interessante insieme speculare 4-9 (0,1, 6,7) [200022].

Discografia:

“Coltrane”, John Coltrane Quartet, 1962, Impulse! Records

“The Illinois Concert”, Eric Dolphy, 1999, Blue Note Records

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Movimenti intervallari circolari

 

Il modo in cui noi immaginiamo essere strutturata la musica sicuramente influenza quello in cui componiamo, improvvisiamo e più in generale la percepiamo.

Il fatto che la musica occidentale si sia sviluppata a partire dal XVII secolo intorno al concetto di tonalità ha influenzato in modo tanto profondo la nostra cultura da far si che tuttora, nonostante un XX secolo ricco di sperimentazioni, consideriamo la musica costruita intorno a questo principio come la più immediata, semplice e facilmente percepibile.

Che ci debba quindi essere una nota predominante, fondamentale, e che su questa si possa sviluppare in direzione verticale verso l’alto un’armonia che possa poi avere un ulteriore sviluppo orizzontale determina una prassi compositiva e una forma della musica ben determinata nella sua visione spaziale e nella sua distribuzione delle altezze.

Che si possano creare e utilizzare sistemi alternativi per creare geometrie armoniche e melodiche e che questi possano essere validi e fertili da un punto di vista creativo ed espressivo è ormai un dato consolidato della musica contemporanea.
Una visione geometrica della composizione musicale non è un accessorio intellettuale della musica di ricerca occidentale, infatti in molte musiche extra europee o nella musica antica l’elemento geometrico, numerico e astratto è fondamentale e talvolta fondante.

L’idea della presenza di una nota fondamentale trova comunque fondamento nella costituzione fisico-acustica di un’onda sonora e risponde quindi a un’esperienza percettiva concreta lì dove ogni suono è composto da un’onda fondamentale e da una serie di armonici superiori di inferiore intensità.
Si può però utilizzare l’idea della predominanza di una certa altezza sulle altre in diversi modi. Ad es. considerando una nota come asse di riferimento intorno al quale si può sviluppare il materiale in direzione verticale sia verso l’alto che verso il basso, secondo un principio di simmetria, rispetto al solo sviluppo verso l’alto della musica tonale.

Un artista che ha sviluppato in modo originale e organico questo concetto è il sassofonista Steve Coleman. Intorno a questa intuizione, che ha comunque radici lontane anche nella musica europea, ha elaborato una personale idea dello sviluppo melodico e armonico, che si riflette sia nelle composizioni che nelle improvvisazioni.

http://m-base.com/essays/symmetrical-movement-concept/

Un altro concetto interessante e argomentato in modo originale da parte di Coleman è quello del movimento del materiale melodico improvvisativo. Le linee disegnate dal fraseggio del grande sassofonista Charlie Parker, soprannominato non a caso Bird, vengono paragonate a quelle di un uccello in volo. Coleman, partendo da questa analogia, sostiene di essersi ispirato invece al volo irrequieto e rapido delle api.

Negli ultimi anni ho avuto modo di sperimentare l’utilizzo nell’improvvisazione di un numero limitato di intervalli.
Ogni intervallo ha determinate proprietà e si rapporta con l’insieme cromatico in modo peculiare: la quarta aumentata lo divide in due sezioni perfettamente simmetriche, il tono in sei, la terza minore in quattro, la terza maggiore in tre, la quarta e il semitono in dodici.
Gli intervalli complementari, quinta, sesta e settima godono delle stesse proprietà dei loro reciproci.
Ne deriva che il semitono, la settima maggiore, la quarta e la quinta sono intervalli estremamente fluidi e dinamici, mentre la quarta aumentata è l’intervallo più statico. Non mi riferisco qui alla caratteristica timbrica dell’intervallo, il cui colore è qualcosa di diverso, e il cui effetto alle volte non può essere considerato a prescindere del contesto armonico in cui viene utilizzato, ma alla capacità dinamica dello stesso rispetto al totale cromatico.

Se è facile valutare lo sviluppo di un singolo intervallo la faccenda diventa più complessa quando si considerano le combinazioni tra due intervalli, alternati in modo regolare. Il totale delle combinazioni possibili è 30, sempre considerando gli intervalli dalla quinta alla settima riconducibili ai loro complementari di ampiezza inferiore.

Due intervalli che si alternano in modo equilibrato in direzione verticale generano una successione che è determinata dalla somma dei due. Una seconda minore alternata a una maggiore ad es. genera una terza minore, creando una progressione a terze minori che divide l’ottava in quattro parti uguali, generando una scala ottofonica diminuita.

Diverso e interessante è il processo nel caso in cui due intervalli siano alternati invertendo la direzione a ogni coppia di note. Si genera in questo modo un movimento circolare che riporta sempre al punto di partenza, anzi se lo visualizziamo graficamente il movimento è una sorta di strano anello, quasi un nodo (fig. 1).

Possiamo considerare i nostri intervalli come due vettori bidimensionali il cui valore è determinato dall’ampiezza dell’intervallo e dalla direzione verso l’alto o il basso.
In matematica il vettore è un elemento quantitativo (l’intervallo) che possiede un verso direzionale (alto o basso), in questo caso monodimensionale visto che un’altezza può muoversi solo lungo un asse.
Dei due intervalli il primo (le note c-d nella fig. 1) possiamo definirlo vettore caratterizzante e il secondo (d-c# fig. 1) vettore traspositore. Con il primo infatti stabiliamo il primo passo, la lunghezza del nostro primo anello, con il secondo stabiliamo la distanza con la quale trasportiamo questo intervallo. Completando il nostro processo con una seconda maggiore verso il basso (c#-b) e una seconda minore verso l’alto (b-c) completiamo il nostro primo ciclo.

Il processo essendo perfettamente equilibrato dal punto di vista degli intervalli (i vettori si annullano) riconduce in modo circolare la frase al punto iniziale.

Possiamo fare un ulteriore passo considerando come sviluppare questa idea circolare.
La prima frase vedeva la successione di un vettore positivo, due negativi e uno positivo. Ora possiamo modificare questa sequenza con due vettori positivi e due successivi negativi.

Le due cellule in sequenza generano il frammento della fig. 2, dove è interessante osservare che le due cellule hanno in comune le prime due note, ovvero il primo intervallo caratterizzante, che diviene l’asse di equilibrio della nostra frase.

Estendendo questo processo spostandosi di un intervallo traspositore, vista l’alternanza degli intervalli, si otterranno una serie di frasi circolari inanellate le une con le altre. Interessante osservare che ogni doppio anello si trasla verso l’alto con una proporzione che è il doppio del valore del vettore traspositore.
In questo caso il risultato sarà un tono, generando quindi complessivamente una progressione a toni interi (fig. 3).

Nella discesa il processo si inverte. La successione dei vettori sarà positiva, negativa, negativa, positiva. A questo succederà una successione positiva, positiva, negativa, negativa. In questo modo l’asse si sposta dal primo intervallo caratterizzante al secondo.

Questa frase ha quindi la proprietà di alternare in modo circolare tono e semitono, con una progressione di toni interi ascendenti e discendenti.

Ora possiamo osservare la nostra successione di intervalli dal punto di vista delle classi di insiemi che esprime.

Nel mio precedente articolo ho analizzato per sommi capi la metodologia che consente di estrapolare questi valori: http://www.nicolafazzini.com/wp/?p=158

Il primo anello è riconducibile all’insieme 4-1 (0,1,2,3) [3,2,1,0,0,0].
Con l’aggiunta del secondo si ottiene l’insieme 5-1 (0,1,2,3,4) [4,3,2,1,0,0].

Questa successione di anelli tono/semitono esprime una progressione di toni, ma nella sua natura intervallare esprime un’evidente prevalenza dell’intervallo di semitono. Interessante osservare una curiosa analogia dove il codice che esprime la successione delle altezze è speculare a quello degli intervalli contenuti.

Questo fraseggio è per me particolarmente interessante proprio per la sua capacità circolare e la possibilità di legare gli intervalli in modo fluido e invertire la direzione delle frasi mantenendo un equilibrio tra sviluppo orizzontale e verticale dell’improvvisazione.

Se qualcuno trova che questo sia troppo matematico o astratto, provi a suonare la frase per intero e a sviluppare questa idea utilizzando altri intervalli e si ricrederà!

Bibliografia e Link:

Persichetti Vincent, Guerini Scientifica (2009) – Armonia del ventesimo secolo

Levy Ernst, Sigmund Lavarie (1985) – A Theory of Harmony

http://m-base.com/essays/symmetrical-movement-concept/

Insiemi e classi di altezze per l’analisi, la composizione e l’improvvisazione jazz

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Insiemi e classi di altezze per l’analisi, la composizione e l’improvvisazione jazz

“La filosofia analitica è simile al panno per pulire gli occhiali, ossia ci si vede meglio ma non affronta le grandi questioni” (H. G. Gadamer)

 

Il Novecento è stato un secolo ricco di sperimentazione e innovazione: l’etnomusicologia, la riscoperta di tecniche musicali antiche, l’elettronica, il pop, le infinite fusioni di generi e tendenze diverse, la musica classica moderna e contemporanea hanno continuamente rovesciato a distanza di pochi anni gli uni dagli altri paradigmi e processi generando  continua ricerca su diversi fronti.

Non da ultimo il jazz che a inizio secolo scorso ha letteralmente rivoluzionato la concezione musicale, reintroducendo l’improvvisazione come elemento creativo fondante, ampliando le possibilità tecnico espressive di molti strumenti (si pensi ad es. agli ottoni, il sassofono, la batteria), con una costante sperimentazione nei parametri del ritmo, della melodia e dell’armonia determinata anche dalla grande permeabilità ad altri generi musicali di questa musica.
Il Postmodernismo ha ben messo in luce a fine secolo scorso virtù e limiti di questa babele di linguaggi. I compositori contemporanei oggi sono capaci, e non potrebbe essere altrimenti in un mondo globalizzato, di esprimersi con competenza in stili e generi diversi, facendo della sintesi e della commistione la dote creativa fondamentale, nella quasi impossibilità di muoversi in modo creativo all’interno di un unico codice linguistico senza ricadere nell’accademismo o in un puro esercizio di stile.

Il jazz da far suo ha cercato di sistematizzare e organizzare il materiale musicale in modo sempre maggiore, vista la sua diffusione su scala planetaria e la nascita di scuole e accademie a esso dedicate. Dai pionieri della didattica Lennie Tristano e Barry Harris ai numerosi metodi per l’improvvisazione e la composizione (giusto per citarne alcuni Jerry Coker, Hal Crook, Jerry Bergonzi, George Russel, David Baker, Jamie Aebersold, ecc.) in molti hanno proposto sistemi di riorganizzazione del materiale musicale per aiutare l’improvvisatore a gestire il flusso creativo in modo organico.
Spesso in questa ricerca oltre alla semplice trascrizione, analisi e rielaborazione di soli e frasi celebri si sono cercati processi di rielaborazione del materiale: le bebop scales, le scale pentatoniche, l’utilizzo esclusivo di alcuni gradi delle scale musicali, l’utilizzo delle triadi e degli intervalli, concetti e approcci (ad es. Lydian Chromatic Concept) sono solo alcuni degli strumenti proposti in testi e corsi da didatti e artisti.

Nel mio personale percorso di studio e ricerca ho trovato nell’uso degli insiemi (o classi dall’inglese pitch class set) di altezze, sviluppato nell’ambito della serialità a metà del Novecento, con protagonisti tra gli altri il compositore Milton Babbit e il musicologo Allen Forte, uno strumento utile e fertile, capace di sintetizzare molti dei metodi sopra citati e di individuare relazioni e affinità tra materiali musicali diversi.

Come da citazione nell’incipit del filosofo Hans-Georg Gadamer, la teoria analitica degli insiemi non risolve le grandi questioni estetico-artistiche, ma aiuta a vedere meglio quelle che possono essere le relazioni tra diverse altezze e le loro combinazioni possibili.
Nel jazz molti dei metodi sopra citati non fanno altro che suddividere in insiemi organizzati il materiale melodico (il sistema tonale è stato definifo da alcuni compositori serialisti nient’altro che un sottoinsieme ascrivibile alla teoria degli insiemi) attraverso l’uso prevalente di volta in volta di pentatoniche, arpeggi, frammenti di scale o estensioni delle stesse (bebop scales o scale sintetiche ad es.). Si pensi ad es. all’idea di voicing nell’armonia jazz, dove un determinato insieme di altezze nei suoi possibili rivolti esprime un colore sonoro spesso utilizzabile in diversi accordi e funzioni armoniche, acquisendo in qualche modo un significato quasi superiore a quello dell’accordo che esprime. L’analogia con gli insiemi di altezze è piuttosto evidente, dal momento che una delle caratteristiche di questo tipo di gestione del materiale musicale è proprio quella di poter analizzare, studiare e sviluppare un gruppo di note in modo estremamente libero, quasi fosse lo stesso materiale a suggerire, date le sue caratteristiche e proprietà, i possibili sviluppi.
Proviamo ora ad analizzare un voicing considerandolo un insieme intervallare.
Il voicing F, B, E, A (fig. 1) può essere usato (fig. 2,3,4) in molti accordi (ad es. G7, Dm6, Db7alt, ecc.).

voicing_2

Per poterlo analizzare come fosse un insieme dobbiamo fare alcuni piccoli passi: il primo è quello di ricondurre il nostro materiale a una sola ottava di riferimento.
Il secondo è quello di ricondurlo in una successione dove gli intervalli siano distribuiti in un ordine crescente: E, F, A, B (fig. 5).
Il terzo è quello di riordinare il nostro insieme in modo che la distanza tra la prima e l’ultima altezza dell’insieme sia la minore possibile.
Queste operazioni mirano quindi a riorganizzare il materiale in modo da avere un insieme ordinato per grandezza e distanza.
A questo punto possiamo trasportare l’insieme in modo da far coincidere la prima nota con la nota do. Il nostro insieme diverrà quindi C, Db, F, G (fig. 6).
Nella teoria degli insiemi per risolvere le confusioni create dall’enarmonia e per meglio valutare le distanze intervallari si sostituiscono i nomi delle note con la successione numerica da 0 a 12: il nostro insieme diventerà quindi 0 1 5 7.

Questo tipo di riduzione consente di raggruppare tutte le possibili combinazioni di altezze in un numero finito di insiemi. Esistono tabelle, anche sul web, che riassumono il totale degli insiemi possibili:

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_pitch-class_sets

esiste inoltre un utile e divertente calcolatore on-line dei possibili insiemi:

https://www.mta.ca/pc-set/calculator/pc_calculate.html

In questo caso il nostro insieme corrisponde al numero 4-16, dove il numero 4 indica il numero cardinale, ovvero la quantità di altezze implicata, e il 16 è l’ordine in cui compare questo insieme tra tutti gli insiemi cardinali di 4 note.

110121 è invece il codice che riassume tutte le possibili relazioni intervallari tra le altezze dell’insieme. In questo caso abbiamo ad es. un semitono, un tono intero, nessuna seconda minore, una terza maggiore, due quarte giuste e una eccedente. Nel linguaggio del serialismo viene definito “vettore intervallare”. Io preferisco chiamarlo “codice intervallare” in quanto rappresenta una sorta di codice genetico dell’insieme piuttosto che una rappresentazione vettoriale.

In questo secondo codice che caratterizza un iniseme a ogni numero corrispondono in ordine progressivo gli intervalli dal semitono alla quarta eccedente. Gli intervalli di grandezza superiore vengono ricondotti al loro reciproco, sempre nella logica di ridurre e compattare le altezze in un insieme semplice.
In questo caso ad es l’intervallo di quinta do-sol viene conteggiato come quarta giusta, infatti risultano nella penultima cifra del codice due unità.

Gli elementi numerici che definiscono l’insieme sono quindi:
4-16 (0,1,5,7) [110121]

Il primo è il numero cardinale che ci informa della quantità di altezze e la loro categorizzazione, il secondo è la disposizione delle altezze in modulo12 (all’interno di un’ottava raggruppate nel modo più compatto possibile) e il terzo è la quantità e tipo di intervalli che caratterizzano l’insieme.
Queste informazioni sono sufficienti per avere una chiara definizione delle proprietà e potenzialità di qualsiasi insieme.

L’insieme appare piuttosto equilibrato nella sua distribuzione intervallare. A parte la terza minore, assente, e la quarta giusta, due presenze, gli altri intervalli sono rappresentati in modo omogeneo, con una presenza ciascuno.

È interessante presentare in questo senso un insieme sempre di quattro note perfettamente equilibrato dal punto di vista intervallare (fig. 7):
4-15 (0,1,4,6) [111111]
Confrontandolo con il nostro 4-16 emergono con evidenza le similitudini: entrambi sono costituiti dai sue sottoinsiemi  1-2 e 2-2, seconda minore e seconda maggiore. La sostanziale differenza che ne determina la qualità nella sua costituzione intervallare è data dalla distanza tra i due sottoinsiemi dove nel 4-15 è una terza minore e nel 4-16 una terza maggiore.
È proprio questa terza minore l’elemento mancante.

Nell’elenco degli insiemi si può notare anche l’insieme 4-16B. Stesse proprietà, ma diversa natura di altezze. Ecco che quindi la tabella degli intervalli ci può introdurre a relazioni tra materiali musicali apparentemente lontani.

Una volta completata una prima sommaria analisi dell’insieme, si possono applicare alcune proprietà che possono modificarlo. Le principali azioni sono: trasporto, inversione, permutazione e trasformazione.

Gli insiemi si possono inoltre dividere in sotto e sovra insiemi, processo interessante soprattutto per utilizzare questo materiale dal punto di vista improvvisativo.
Ovviamente ogni singolo intervallo di due note può essere considerato un sottoinsieme così il nostro 4-16 contiene sei sottoinsiemi di due note.
Con gli insiemi di tre note la faccenda è leggermente più complessa:

C Db F     0,1,5
C F G       0,5,7   F G C     0,2,7
C Db G     0,1,7  G C Db  0,5,6
Dd F G     0,4,6  F G Db 0,2,8

Per identificare invece i sovraisiemi possiamo partire dal codice intervallare e ad es. cercare tra gli insiemi di cinque elementi quelli che contengono gli intervalli del precedente più uno.
Consultando la tabella ne potrete trovare moltissimi, a testimonianza del potenziale di questo tipo di analisi.

Le proprietà degli insiemi e le relazioni che si possono quindi instaurare tra loro sono molteplici e questo tipo di analisi può essere fertile sia da un punto di vista compositivo che improvvisativo.

La mia prima composizione scritta utilizzando queste nozioni, è stata “Spazio Angusto”.

Potete ascoltarla qui: https://open.spotify.com/track/2aaJ23v8Y9yrggwyYc4WrU

Questa la partitura:

o1-spazio-angusto-n-fazzini

Il titolo nasce dalle caratteristiche del materiale musicale utilizzato: quattro insiemi di tre note ciascuno, insiemi semplici costruiti sulle prime combinazioni di piccoli intervalli, seconda maggiore e minore e terza maggiore, quindi uno spazio intervallare limitato e apparentemente limitante:

F#, G, Ab
A, Bb, C
Ab, Bb, B
F, Gb, A

Il primo, insieme 3-1, è costituito da una successione a distanza di semitoni.
Il secondo e il terzo hanno un tono e un semitono disposti in ordine inverso, ma nonostante questa apparente diversità appartengono alla stesso gruppo, il 3-2, che ha come codice intervallare 1,1,1,0,0,0.
Il terzo che contiene un semitono e una terza minore è il 3-3.

La prima sezione si sviluppa melodicamente con vibrafono, sax e basso che suonano coralmente la melodia ricavata dall’utilizzo esclusivo delle note dell’insieme.
Il brano è costruito prevalentemente dalla ripetizione di una sezione A di otto misure sviluppata e variata o inframmezzata da sezioni riorchestrate o finalizzate a momenti solistici.
I quattro insiemi sono utilizzati e suddivisi in blocchi di due battute ciascuno.
Il materiale di ciascun insieme è utilizzato in modo seriale: ogni nota di ciascun insieme  è presente, con l’avvertenza di evitare la ripetizione della stessa all’interno di un singolo blocco, in modo da un lato di far percepire sempre il colore complessivo degli insiemi, dall’altro di evitare il più possibile una sensazione di tonalità o di predominanza di un’altezza sulle altre.
Vibrafono, sax e basso seguono rigorosamente questa idea come potete vedere alla lettera A.

Nell’utilizzo delle classi di altezza uno degli strumenti più semplici e interessanti per lo sviluppo melodico è quello del cambio di ottava.
Con insiemi così stretti, che nella loro forma fondamentale si muovono nell’ambito di semitono, tono e terza minore, il cambio di ottava dell’altezza di una nota determina la creazione di salti ampi: settime, seste e none.
Sax alto e basso seguono un movimento contrario in questo senso: dall’alto al basso per il primo e dal basso all’alto per il secondo. Il vibrafono come strumento polifonico sintetizza entrambi questi movimenti.

La composizione si sviluppa in modo più o meno rigoroso seguendo questo schema attraverso processi di orchestrazione, ripresa e variazione della sezione A, assoli e variazioni della formula ritmica, fondata anch’essa sulla presenza del numero 3 con un processo che in qualche modo replica l’idea di insieme a livello ritmico, con un contrappunto ritmico tra la linea del basso e il drum chant della batteria.

Un insieme di tre note offre possibilità di sviluppo interessanti, con l’utilizzo del tritono come intervallo traspositore, che trasforma il nostro insieme da 3 a 6 elementi

F# G Ab + C Db D
A Bb C + D# E F#
Ab Bb B + D E F
F Gb A + B C Eb

Gli insiemi di sei per le loro caratteristiche un ruolo particolare nella musica seriale. Innanzitutto ciascun esacordo ha un insieme complementare di altre sei note che va a completare l’insieme cromatico.

Un’ulteriore possibilità è inserire altre altezze che riconducano l’insieme a una scala (a questo punto tutte le scale conosciute possono essere considerate come un insieme) più familiare e caratteristica.
Il primo insieme di Spazio Angusto infatti può generare una scala cromatica, il secondo e il terzo, con l’inclusione delle note C# e G, due diverse scale diminuite, come anche l’ultimo con l’inclusione delle note B e F.

Ci sono artisti nel jazz che hanno usato o usano il materiale in un modo che può essere considerato molto vicino a quello delle classi di insiemi.

In primis Steve Coleman che esplicitamente vi fa riferimento, ad es. utilizza i numeri per indicare le armonie in sostituzione delle sigle e fa riferimento a gruppi di altezze senza relazione chiara accordale o dal punto di vista dell’armonia funzionale. Anche il grande Thelonious Monk sembra utilizzare gruppi di altezze nelle sue composizioni. In temi come Monk’s Mood e Epistrophy è evidente l’uso di un materiale composto di poche note astratto rispetto a un contesto accordale o scalare. Anche uno standard jazz come “I’ve got rhythm”  è costruito su un insieme, solo all’apparenza banale. Ma a questa lista si potrebbero aggiungere molti altri brani e compositori, primo tra tutti John Coltrane, che hanno scritto o sviluppato la loro musica in modo analizzabile su base insiemistica. Ovviamente la questione non è se questi artisti utilizzassero o meno consapevolmente questo strumento di analisi, cosa della quale dubito,  quanto l’uso che se ne può fare in fase di analisi e sviluppo anche improvvisativo.

L’uso di insiemi di altezze è strettamente legato all’idea delle “scale sintetiche”, termine ricorrente nella muscia contemporanea, ma usato anche da Yusuf Lateef nel suo “Repository of Scales and Melodic Patterns”,  a conferma che tra jazz e contemporanea il dialogo è stato fitto.

Bibliografia e link:

Slonimsky Nicolas – Thesaurus of scales and melodic patterns. Previously published: New York: C.Scribner, 1947

Verdi, Luigi, Diastema 1998 Treviso – Organizzazione delle altezze nello spazio temperato

Andrea Lanza, E.D.T. 1980 Torino – Il secondo Novecento

Steve Coleman: https://m-base.com/essays/

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_pitch-class_sets

Yusuf Lateef, Fana Music, Repository of Scales and Melodic Patterns

https://www.mta.ca/pc-set/calculator/pc_calculate.html

https://www.instagram.com/okazakistudio/?hl=it
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